8个算术游戏让你立刻爱上数学

也许你经常问，数学到底哪里有趣了，数学之美又在哪里？看完下面8个老少咸宜的算术问题，或许从小数学就不及格的你也能够喜欢上这门充满乐趣的学科。数字黑洞6174任意选一个四位数（数字不能全相同），

也许你经常问，数学到底哪里有趣了，数学之美又在哪里？看完下面8个老少咸宜的算术问题，或许从小数学就不及格的你也能够喜欢上这门充满乐趣的学科。

数字黑洞6174

任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。对新得到的数重复进行上述操作，7步以内必然会得到6174。

例如，选择四位数6767：

7766-6677=1089

9810-0189=9621

9621-1269=8352

8532-2358=6174

7641-1467=6174……

6174这个“黑洞”就叫做Kaprekar常数。对于三位数，也有一个数字黑洞——495。

3x+1问题

从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以2；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的3倍后再加1。你会发现，序列最终总会变成4，2，1，4，2，1⋯⋯的循环。例如，所选的数是67，那么，

67，202，101，304，152，76，38，19，58，29，88，44，22，11，34，17，52，26，13，40，20，10，5，16，8，4，2，1，4，2，1……

数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421陷阱”。但是否对于所有的数，序列最终总会变成421循环呢？乍看之下，问题非常简单，但至今仍没有人能够证明。

特殊两位数乘法的速算

如果两个两位数的十位相同，个位数相加为10，那么你可以立即说出这两个数的：AB和AC的前两位就是A和A+1的乘积，后两位就是B和C的乘积。比如，47和43的十位数相同，个位数之和为10，因而它们乘积的前两位就是4×(4+1）=20，后两位就是7×3=21。也就是说，47×43=2021。类似的，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。这个速算方法背后的原因是，（10x+y）［10x+（10-y）］=100x（x+1）+y（10-y）对任意x和y都成立。

196算法

一个数正读反读都一样，我们就把它叫做“数”。随便选一个数，不断加上把它反过来写之后得到的数，直到得出一个数为止。例如，所选的数是67，两步就可以得到一个数484：67+76=143，143+341=484。

把69变成一个回文数则需要四步：69+96=165，165+561=726，726+627=1353，1353+3531=4884。

89的“回文数之路”则特别长，要到第24步才会得到第一个回文数，8813200023188。

不过，196却是一个相当引人注目的例外。数学家们已经用计算机算到了3亿多位数，都没有产生过一次回文数。196究竟特殊在哪儿？这至今仍是个谜。

Farey序列

选取一个正整数n。把所有分母不超过n的最简分数找出来，从小到大排序。这个分数序列就叫做Farey序列。在Farey序列中，对于任意两个相邻分数，先算出前者的分母乘以后者的分子，再算出前者的分子乘以后者的分母，则这两个乘积一定正好相差1。这个定理有从数论到图论的各种证明。

唯一的解

经典数字谜题：用1到9组成一个九位数，使得这个数的第一位能被1整除，前两位组成的两位数能被2整除，前三位组成的三位数能被3整除，以此类推，一直到整个九位数能被9整除。

没错，真的有这样猛的数：381654729。其中3能被1整除，38能被2整除，381能被3整除，一直到整个数能被9整除。这个数既可以用整除的性质一步步推出来，也能利用计算机编程找到。在所有由1到9所组成的362880个不同的九位数中，它是唯一一个满足要求的数。

数在变，数字不变

123456789的两倍是246913578，正好又是一个由1到9组成的数字。

246913578的两倍是493827156，正好又是一个由1到9组成的数字。

把493827156再翻一倍，987654312，依旧恰好由数字1到9组成的。

把987654312再翻一倍的话，将会得到一个10位数1975308624，它里面仍然没有重复数字，恰好由0到9这10个数字组成。

再把1975308624翻一倍，这个数将变成3950617248，依旧是由0到9组成的。

不过，这个规律却并不会一直持续下去。继续把3950617248翻一倍将会得到7901234496，第一次出现了例外。

三个神奇的分数

1/49化成小数后等于0.0204081632……把小数点后的数字两位两位断开，前五个数依次是2、4、8、16、32，每个数正好都是前一个数的两倍。

100/9899等于0.01010203050813213455……两位两位断开后，每一个数正好都是前两个数之和。

而100/9801则等于0.0102030405060708091011121314151617181920212223……利用组合数学中的“生成函数”可以完美地解释这些现象的产生原因。

邱志凯//摘自果壳网，樊晓镇/图